三平方の定理 update 20101209
三平方の定理
直角三角形の三平方の定理について証明を試みます。
別名「ピタゴラスの定理」は有名で、証明の方法は何種類かあるはずなのですが、「ふ～ん」と感心してはいたものの、自分で解いた事が一度もありませんでした。
そこで、これを機会に、参考書や教科書を参考にせず、図とにらめっこして、なんとか証明をしてみようと思ったのです。
証明に使う直角三角形は、上にあるようなものです。
まず思いついたのは、三角形の相似を使うことです。
（証明その１）
△ＡＣＢは直角三角形である。
∠Ｃ＝∠Ｒの頂点Ｃより 斜辺ｃに垂線を降ろし
斜辺との好転をＤとする。 このとき斜辺Ｃは点Ｄにより
ｎおよびｍに分割される。
ここで、△ＢＡＣ∽△ＢＣＤ∽△ＣＡＤである。
したがって各三角形における各辺の比は等しいので
ｎ：ａ ＝ ａ：ｃ ・・・・①
ｍ：ｂ ＝ ｂ：ｃ ・・・・②
また ｍ＋ｎ ＝ ｃ ・・・・③ であるから
①より
ｎ／ａ ＝ ａ／ｃ → ｎ ＝ ａ^2／ｃ ・・・・④
②より
ｍ／ｂ ＝ ｂ／ｃ → ｍ ＝ ｂ^2／ｃ ・・・・⑤
③④および⑤より
ｍ＋ｎ ＝ ａ^2／ｃ ＋ ｂ^2／ｃ
ｃ ＝ ａ^2／ｃ ＋ ｂ^2／ｃ
この両辺にｃ （≠ ０）を乗ずると
ａ^2 ＋ ｂ^2 ＝ ｃ^2
三平方の定理になりました。 証明終わりました。（つづく・・・かな）
----- ここまで 20090910 -----
